テンソル #3

前回は双線形関数を定義した。今日は多重線形代数とテンソル代数。

前回の定義を一般化して、V*×…×V*上で定義された線形性をもつ関数をk重線形関数という。そしてそれは同様にベクトル空間をなす。k重線形関数全体の作るベクトル空間をk-テンソル空間という。

Vの任意の2元をとるとそれによりテンソル積が構成でき、それは2-テンソル空間の元である。この2元によりV*の2元を変数とする双線形関数が定義できるということ。n-テンソル空間の元と、m-テンソル空間の元のテンソル積はn+m-テンソル空間となる。

このテンソル積で閉じるような、1-テンソル空間、2-テンソル空間、…の直和からなる集合は代数的には多元環をなしていて、これをテンソル代数という。ただこの空間は基底が無限個あり使い勝手が悪いので、任意の元ができてかつ基底が有限個であるような空間があるとよい。

ということで次回は外積代数…にしたいところだが、テンソル解析もちょっとやっておきたいので次回はより応用側の成分ベースの計算やテンソル解析の方向を勉強する。