学びの日記

日々の勉強記録

テンソル #1

テンソルの復習。本日は「ベクトル解析30講」の第3~4講を読んだ。

ベクトル空間Vに対し、VにRを対応づける線形関数全体の集合V*を考える。ここに和・スカラー倍を導入するとV*もまたベクトル空間となる。これがVの双対空間である。

Vの元xに何らか基底を導入して成分表示することを考える。V*において「xにxの第i成分を対応づける線形関数」を考えるとき、これらはV*の基底をなす。これはVに導入した基底に対応して定義されるもので双対基底という。

Vの元を縦ベクトルで表すとき、V*の元は横ベクトルと対応づけられる。では(V*)*ってどういうものか?線形関数f:x→f(x)だとしたら、xにいろいろな線形関数を適用するというふうに視点を変えることでX:f→f(x)という線形関数を考えることができる。このXをxと同一視することでV=(V*)*と考えれられる。これによりVとV*とはまさにどちらが主でどちらが従といえない対の関係になる。次回にようやくテンソルが登場する見通し。